В 2000 году окончил Московский государственный университет природообустройства, в 2013 году окончил Институт мировых цивилизаций. В начале 2000-х годов вступил в ряды ЛДПР. С июля 2003 года работал в секретариате Владимира Жириновского. С марта 2004 года был помощником первого заместителя руководителя фракции ЛДПР в Госдуме Максима Рохмистрова.

В 2007 году Свинцов баллотировался в Государственную думу V созыва, но избран не был. Следующая попытка четыре года спустя оказалась успешной.

С 2008 по 2011 год Свинцов занимал должность помощника заместителя председателя Госдумы V созыва Владимира Жириновского[4].

Работал директором АНО "Центр информационно-консультационных услуг в области жилищного права «Молодёжный город».

В 2010—2011 годах — депутат совета городского округа Лыткарино Московской области V созыва. Был избран от ЛДПР по второму одномандатному округу (23,41 %). Депутатские полномочия исполнял на непостоянной основе.

В 2011—2016 годах — депутат Госдумы VI созыва. Был избран 4 декабря 2011 г. по списку ЛДПР (первый номер в региональной группе № 79, Москва). В Думе был членом комитета по вопросам собственности, входил во фракцию ЛДПР.

В 2016 году вновь избран депутатом Государственной думы. Был заместителем председателя думского комитета по информационной политике, информационным технологиям и связи. Входил во фракцию ЛДПР.

Известен ведением прямых трансляций заседаний нижней палаты российского парламента в социальных сетях.

8 июня 2022 года стал депутатом Госдумы восьмого созыва, получив мандат умершего в апреле того же года основателя ЛДПР В. Жириновского.